Escuela virtual de Sabiduría de Pamplona.

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Eratóstenes y el pozo

Eratóstenes y el pozo

© Copyright  Fernando Conde Torrens, el 7-9-2.005

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……….Tengo que reconocer que me encanta el ingenio y que admiro a la persona que lo usa, que sabe servirse de él. En la Antigüedad había menos medios que actualmente. Eso obligaba a servirse del ingenio para conseguir muchas cosas. Entre las personas que más admiro está Eratóstenes. Fue el primero que midió la circunferencia de la Tierra.

……….Expongamos el problema al lector. Dispone el lector de un mapamundi bien realizado y sobre él las distancias que necesite. Ese mapamundi sólo contiene los países en torno al Mediterráneo, claro está. Discurra un método para calcular la circunferencia del planeta. Eso es lo que hizo Eratóstenes, según veremos acto seguido. Pero antes de verlo,  sepamos un poco más de él.

……….Tengo como fuente una colección de libros con el título genérico de Historia de la Filosofía, de Jesús Mosterín. El Tomo 5 se titula “El pensamiento clásico tardío”, de Alianza Editorial, 1.985. En él se traza una resumida historia de los logros de algunos sabios antiguos. Eratóstenes es uno de ellos.

……….Todos los alumnos de antaño conocíamos la famosa criba de Eratóstenes, para obtener los números primos. Se escribían todos los números y, comenzando por el dos, se tachaban de dos en dos, luego empezando en el tres se tachaban de tres en tres y así hasta que se acababan los números. Los que quedaban sin tachar eran los números primos, sólo divisibles por sí mismos y por la unidad. El método se le ocurrió a nuestro Eratóstenes (-284, -202).

……….Pero eso no fue lo único que se le ocurrió. Fue contemporáneo y amigo de Arquímedes. Matemático, escribió tratados sobre las proporciones y las progresiones. Su fama hizo que le llamara el Faraón Ptolomeo III Evergetes y le confiara la dirección de la Biblioteca de Alejandría. Más tarde le confió la educación del príncipe heredero. Fue geógrafo, historiador, matemático, astrónomo, crítico literario y poeta. Editó un mapamundi, el que viene a continuación.

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  Eratóstenes y el pozo

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.………Para Eratóstenes, el ecuador de la Tierra pasaba por Cádiz, Atenas, Rodos, los montes Tauro, el Hindu Kush y el Himalaya. El meridiano cero pasaba por Meroe, Aswan, Alejandría, Rodos y el delta del Dnieper. Grenwich aún no se había fundado. De Eratóstenes fue la idea de dividir la tierra según líneas horizontales (los actuales paralelos) y otras verticales (los actuales meridianos). Idea que no ha variado hasta nuestros días.

……….Pero de lo que vamos a hablar es de cómo calculó la longitud de la circunferencia de la Tierra. Ahora sabemos que es de 40.000 kilómetros. Pero en la Antigüedad la medida de longitud era el estadio, equivalente entonces a 148´8 de nuestros metros. De modo que, para mayor comodidad,  trasladaremos la medida en estadios a metros. Ya fue un adelanto, un conocimiento que se perdió, el saber que el planeta era redondo.

……….Tengo entendido que los navíos griegos bordearon África y, al hacerlo, comprobaron que las constelaciones del cielo cambiaban. De ello dedujeron que la Tierra era redonda y que la parte de cielo que se veía desde Grecia no se veía en la zona que estaban de África. La duda era saber cómo de grande era el planeta. Eratóstenes usó el método que podríamos llamar de la normal. Otro sabio, del que hablaremos mañana, usó el método de la tangente. Veamos el método que ideó Eratóstenes.

……….Según Eratóstenes, el poblado de Syene (cerca de la actual Aswan) está en el trópico, lo que significa que a mediodía del solsticio de verano el sol no forma sombra alguna, porque incide en vertical sobre el trópico. Para asegurarse, hizo construir un pozo y comprobó que en ese momento, todo el fondo del pozo quedaba iluminado. En el dibujo, se indica el pozo, muy ampliado, y el rayo de sol que cae sobre él al mediodía del día citado. Es el rayo inferior. El lugar donde está el pozo, Syene, en el trópico.

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 Eratóstenes y el pozo

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……….Por el contrario, en otras localidades que no estén en el trópico, el sol al mediodía del día referido forma un ángulo con la vertical del lugar. Eratóstenes eligió una ciudad, Alejandría, claro está, para medir dicho ángulo en el mismo instante. Es el punto de la Tierra donde incide el rayo superior. Sabía que la distancia entre ambas poblaciones era de 5.000 estadios. Esa distancia correspondía al ángulo que los rayos del sol formaban con la vertical de Alejandría. Ese ángulo era igual al ángulo en el centro de la Tierra. Así pudo relacionar un ángulo en el centro de la Tierra y la distancia correspondiente en la corteza. Realizó la medición de dicho ángulo y resultó ser la cincuentava parte de la circunferencia (aún no se habían inventado nuestros grados sexagesimales).

……….Si la circunferencia dividida en 50 partes se corresponde con la distancia que hay entre ambas ciudades, la circunferencia entera ha de ser 50 veces 5.000 estadios. Si traducimos los 250.000 estadios a medidas modernas, multiplicando por 148´8 metros, obtendremos 37.200 km., que son muy similares a los 40.000 km. que realmente tiene el planeta de circunferencia.

……….Como se comprenderá, las mediciones en tiempos de Eratóstenes no eran absolutamente exactas. El mayor error consistió en que Syene y Alejandría no están en el mismo meridiano. Hay una desviación de 3º. Por otra parte, la distancia entre ambas ciudades era de 5.914 estadios y la distancia medida en el meridiano es de 5.530 estadios.

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Alejandría

 Eratóstenes y el pozoSyene

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……….El ángulo, en cambio, está muy bien medido, siendo de 7´4º en lugar de los 7´2º medidos por Eratóstenes. Si Eratóstenes hubiera dispuesto de datos geográficos exactos, su razonamiento hubiera sido el siguiente:

……….Entre las dos ciudades hay 5.914 estadios (880  km.), pero eso es el lado mayor de un triángulo y lo que me interesa es conocer el lado vertical, que es 5.530 estadios (823 km.). El lado horizontal es 2.240 estadios (333 km.). Como el ángulo que he medido es algo más de la circunferencia partido por 50 (7´4º) la circunferencia de la Tierra es

5.530 por 360/7´4   (estadios)

 y en unidades modernas 

5.530 por 148´8 por 360/7´4   (metros)

operaciones que dan 269.000 estadios, o su equivalente, 40.031 km.

……….Como se ve, sin una división en grados es imposible llegar a los 7´4º reales. La aproximación de 7´2º es magnífica. Y sin un conocimiento de la geografía mucho más exacto que el que denota el mapamundi de Eratóstenes, que hemos podido contemplar, sucede lo propio.

……….Que con tal imprecisión en los datos básicos llegara nuestro matemático griego a una medición que era el 93% del valor real sólo implica que el método matemático era impecable, como sucedió. La desviación se debió a los errores geográficos de la época, no al cálculo y tampoco a la medición del ángulo de incidencia de los rayos solares en su ciudad de residencia, Alejandría, realizada por Eratóstenes.

……….Hasta aquí, los cálculos de Eratóstenes.

……….Si consideramos las cosas desde nuestra perspectiva moderna, con todos los conocimientos con que contamos, las cosas nos pueden parecer naturales. Debemos colocarnos en la época y ser capaces de discurrir el método de cálculo. Si se nos ha ocurrido el método de Eratóstenes, o uno que conduzca al mismo resultado, podremos decir que somos tan ingeniosos como lo era Eratóstenes. He de confesar que a mí no se me ocurrió.

……….Mañana, Posidonio de Apamea y el método de la tangente. Vaya discurriendo el lector.

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Enlace al próximo día

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……….Fernando Conde Torrens es autor de «Simón, opera magna», «El Grupo de Jerusalén», «Año 303. Inventan el Cristianismo», «La Salud» y una serie de artículos sobre el mundo de las ideas. En  http://sofiaoriginals.com expone los resultados de sus investigaciones sobre la eterna búsqueda del ser humano.

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